Весы и монеты

Е. М. Шамахова

Здравствуйте, мои любознательные друзья! Я очень рада новой встрече!

Скоро ко мне в гости придут МатеМаша и ПрограМиша. Они наверняка захотят порешать новые задачки, поэтому пока их нет, мне нужно успеть немножко подготовиться. Сегодня нам понадобятся весы и монеты. Да-да, весы и монеты! Весы подойдут вот такие:

Монеты у меня тоже необычные, но об этом я расскажу, когда придут МатеМаша и ПрограМиша.
А вот и мои друзья звонят в дверь!
— Заходите, я уже жду вас!
— Здравствуйте, Евгения Михайловна! – поздоровался ПрограМиша, когда я открыла дверь.
— Евгения Михайловна, здра…! – МатеМаша увидела весы и побежала их разглядывать, — Мы сегодня будем играть в магазин?
— А почему они такие странные, эти весы? – подхватил ПрограМиша, — Не такие, как в магазинах. На них нет никаких циферок, даже стрелки нет. Только две чашки, и все. Даже гирек нет. Как же на них можно что-то взвесить?
— Нет, в магазин мы играть не будем, это для решения задачек. А поскольку задачи у нас по математике, то и весы математические. Они не показывают вес, они только показывают, на какой из двух чашек груз тяжелее.
— А разве бывают такие задачки, в которых нужно что-то взвешивать?
— Бывают, и довольно много. Вот вам первая задача:

Задача 1.
У нас есть три монеты, которые на вид ничем не отличаются друг от друга. Но две из них настоящие, а одна фальшивая – она немного легче настоящих. Как определить с помощью наших чашечных весов, какая из монет фальшивая? За сколько взвешиваний это можно сделать?

— А, теперь понятно, зачем нам такие весы, — задумчиво произнес ПрограМиша, — нам ведь не понадобится узнавать, сколько весят монеты.
— Действительно, нам же нужно только сравнивать, какая легче, — согласилась МатеМаша.
ПрограМиша начал класть монеты на весы.
— Попробуем сначала взвесить эти две монеты… Так, они одинаковые. Вот если бы одна оказалась легче, я бы сразу понял, что она фальшивая. А так мне не повезло, придется делать еще одно взвешивание.
— Постой, — прервала его МатеМаша, — не нужно! Все и так ясно! Раз монеты оказались одинаковыми по весу, значит, они точно настоящие!
— Точно! – ПрограМиша даже подпрыгнул от радости, — Значит фальшивая – та, которая осталась лежать на столе!
— Молодцы! Вы справились всего за одно взвешивание! – похвалила я ребят, — А теперь попробуйте решить задачу потруднее.

Задача 2.
Есть 9 монет, которые тоже на вид ничем не отличаются друг от друга. Но все, кроме одной, настоящие, а одна фальшивая – она легче настоящих. За сколько взвешиваний можно справиться на этот раз, чтобы отыскать фальшивую монету?

Дети задумались. Монет стало сразу существенно больше, и задача явно казалась намного труднее.
— Тут, наверно, меньше, чем за 4 взвешивания не справиться, — предположил ПрограМиша, — если только сразу очень повезет…
И он начал класть на чашки весов по одной монетке. Сначала сравнил первую и вторую – они оказались одинаковыми.
— Так, эти точно настоящие, — ПрограМиша с довольным видом отложил их в сторонку.
Потом он сравнил еще две монеты, которые тоже оказались одинаковыми по весу и тоже присоединились к первым двум. Потом сравнил еще две – они тоже оказались настоящими. И когда он взял последнюю пару монет, а на столе осталась всего одна монета, он торжественно произнес:
— Я точно справлюсь за 4 взвешивания! Даже если эти монеты тоже окажутся равными, то есть настоящими, то я точно буду знать, что оставшаяся одна монета фальшивая! А если одна из них будет легче, то тоже хорошо – она и есть фальшивая!
ПрограМиша с видом победителя взял все 9 монет, перемешал их и гордо протянул в сторону МатеМаши:
— Я справился за 4 взвешивания! Кто меньше?
МатеМаша тоже попробовала взвесить две монеты – по одной на каждой чашке весов. И на первом же взвешивании ей повезло, одна из чашек оказалась легче.
— Вот она, фальшивая монета! Всего одно взвешивание!
— Везение не считается! – обиженно сказал ПрограМиша.
— Действительно, нужно придумать такое решение задачи, чтобы даже в случае, если совсем не повезет, ты справилась бы за определенное количество взвешиваний.
МатеМаша и сама понимала, что ее победа какая-то сомнительная. Ведь она начала делать то же самое, что и ПрограМиша, но ей просто повезло. И тут у нее возникла идея!
— Я же могу класть на чашки сразу по несколько монеток! Смотрите!
МатеМаша снова перемешала монеты и положила на каждую чашку по две монеты. Чашки уравновесились.
— Если бы среди этих четырех монет на весах была бы фальшивая, то она была бы на одной чашке, а на другой были бы две настоящие. Ведь фальшивая монета только одна! Значит, мне попались только настоящие монеты, – рассудительно произнесла МатеМаша.
Взвешенные 4 монеты МатеМаша отложила в сторону, взяла новые 4 монеты и снова положила на каждую чашку по две монеты. На столе осталась лежать еще одна монета.
— Если бы сейчас снова получилось равновесие, то фальшивой была бы оставшаяся одна монета. Тогда я справилась бы за два взвешивания. Но даже хорошо, что этого не случилось, а то опять было бы просто везение. У меня сейчас одна из чашек легче, поэтому я точно знаю, что фальшивая монета где-то среди этих четырех.
— Правильно, — поддержал ПрограМиша, — и я даже знаю, на какой чашке – которая легче! Ведь фальшивая монета легче!
— Да, и тогда у меня «под подозрением» остаются всего две монеты! И я уже точно смогу найти среди них фальшивую всего за одно взвешивание! В итоге у меня было всего три взвешивания! – было видно, что МатеМаша очень рада, хотя она и не любила хвастаться победами.
— Молодец, МатеМаша! Однако 3 взвешивания – тоже не лучший результат. Можно найти фальшивую монету и быстрее, — сказала я и даже подмигнула ПрограМише.
ПрограМиша воодушевился, что победа еще не окончательная и у него есть шансы.
— Ну, за одно взвешивание вряд ли получится… — задумчиво произнес он, — Надо попробовать за два.
И тут на лице у ПрограМиши просияла улыбка, он чуть не запрыгал от восторга!
— Да, да! Я знаю, я придумал! Смотрите!
ПрограМиша положил на каждую чашку по три монеты.
— Видите? Нет, посмотрите повнимательнее! Видите? МатеМаша, ты видишь? Ты понимаешь, что это значит? Все, это же весь секрет решения! – ПрограМиша прыгал вокруг, издавал звуки, похожие на боевой клич индейцев, и даже размахивал воображаемым победным флагом.
МатеМаша внимательно посмотрела на весы и тоже все поняла! Да, ПрограМиша победил. И не просто победил, а победил красиво! На каждой чашке весов лежало по три монеты, а на столе оставалась кучка еще из трех монет. И даже было неважно, что показывают весы – это взвешивание показывало, в какой из трех троек находится фальшивая монета.
— Точно, за одно взвешивание ПрограМиша узнает, в какой из трех троек нужно искать фальшивую монету. А в предыдущей задаче мы научились находить среди трех монет фальшивую за одно взвешивание! Итого всего 2 взвешивания! – МатеМаша была так увлечена красивым решением, что даже не расстроилась, что вроде бы проиграла.
— Браво, ПрограМиша! Не только придумал решение, но и догадался применить предыдущую задачу, которую мы уже умеем решать, – похвалила я, — Но и МатеМаша молодец – именно она навела ПрограМишу на мысль класть по несколько монет на чашку. Для закрепления материала подумайте над такой задачкой:

Задача 3.
У нас есть 27 монет, которые тоже на вид одинаковые. Все, кроме одной, настоящие, а одна фальшивая – она легче настоящих. Определите фальшивую монету за 3 взвешивания.

— Я знаю! – хором закричали дети.
— Погодите, дайте немного подумать нашим читателям!
— Кажется, у меня появилась хорошая идея, — сказала МатеМаша, — можно я немножко подскажу читателям?
— Только совсем немножко!
— Какое бы взвешивание мы не делали, мы всегда делим монеты на три кучки: две кладем на весы, а третья кучка – то, что осталось на столе. И лучше делить на равные кучки. Ведь когда взвешиваем, мы узнаем, в какой из трех кучек фальшивая монета. И если кучки одинаковые, то даже в самом плохом случае «под подозрением» останется не слишком много монет.
— Молодец, МатеМаша, идея очень правильная и полезная! А вам еще одна задачка, дома порешаете:

Задача 4.
У нас есть 50 монет, которые тоже на вид совершенно одинаковые. Одна фальшивая – она легче настоящих, остальные монеты настоящие. За какое наименьшее количество взвешиваний можно найти фальшивую монету?

— Ну что ж, друзья, уже поздно, бегите по домам! И, конечно, приходите снова!
— До свидания! Придем обязательно!